2019 年度九州大学学部入試理系用の第 5 問について

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問題と解説

問題

日本では数学の入試問題の著作権は大学からは主張されないだろうからスクショを載せる。

問題

よくわかる解説

穂坂さんのツイートでこの問題はほぼ完全に終わっている。 $\hat{\mathbb{C}}$ 上の一次分数変換であって、 $3$ つ組 $(i, -i, \infty)$ を $(i, -i, -1)$ に移すものを求めよという問題である。 $\hat{\mathbb{C}}$ 上の一次分数変換は相異なる $3$ 点を移す条件だけで一意に定まる。 $\hat{\mathbb{C}}$ 上の円周である「虚軸に $\infty$ を添加した集合」は、一次分数変換によりある円周に移る。 (イ) によればその円周が単位円だという。よって (ウ) の条件は $\infty \mapsto -1$ に他ならない。$\hat{\mathbb{C}}$ 上の一次分数変換全体は $\hat{\mathbb{C}}$ 上の解析的自己同型群全体と一致している。ゆえにその像から $1$ 点を抜けば像からも $1$ 点抜けてそれで解答は完全に終わりである。

インシデント

しかし (イ) の条件に引きずられているのかなんなのか知らないけれども、以下のツイートによると予備校の解答が間違っているらしい。

解答

そこで、ここでは、上記の知識を使わず、しかし上の知識を援用した、私が高校範囲だと思う解答を示しておく。この解答では、めんどくさいので記号は普通の数学の記号(高校範囲外かもしれない)を使う。

解答例

$c$ は純虚数でないので $c \neq 0$ である。 (ア) の条件より、計算により(計算は略)、 $a = 1$, $b = -c$ であることがわかる。よって以下では $\mathbb{C} \setminus \{ -1/c \}$ 上定義された複素関数 \[ f(z) = \frac{z - c}{cz + 1} \] を考察する。まず $f(0) = - c$ より、 $c \overline{c} = 1$ である。ここで $\mathbb{C} \setminus \{ 1/c \}$ 上の関数 $g$ を \[ g(z) = \frac{z + c}{-cz + 1} \] と定めると、計算により(計算は略)、 $z \in \mathbb{C} \setminus \{ 1/c \}$ に対し、 \[ f \circ g(z) = z \] が成立する。ここで $c \neq -1$ と仮定する。すると $g$ に $z = -1$ を代入できる。ここで、 \[ \overline{g(-1)} = \frac{-1 + \overline{c}}{\overline{c} + 1} = \frac{- c \overline{c} + \overline{c}}{\overline{c} + c \overline{c}} = \frac{-c + 1}{1 + c} = - g(-1) \] である。つまり $z _ 0 = g(-1)$ は虚軸上にある。ゆえに $f(z _ 0) = -1$ が成立する。これは (ウ) に反する。したがって $c = -1$, $b = 1$ と求まる。

さて、$w = f(z)$ とおくと、 \[ w = f(z) = \frac{z + 1}{-z + 1} = 1 + \frac{2}{- z + 1} \] であるから、 $w’ = w - 1$, $z’ = - z + 1$ とおくと、 $z’w’ = 2$ である。ここで $z’$ は $\mathbb{C}$ 上の直線 $L = \{ 1 + ti \in \mathbb{C} \mid t \in \mathbb{R} \}$ 上を全て動く。そこで $C’$ を $1 \in \mathbb{C}$ を中心とする半径 $1$ の円とする。 $\mathbb{C}$ 上の原点 $0$ を中心に記述すると $z’$ の偏角は $w’$ の偏角の $-1$ 倍である。よって $z$ の複素共役 $\overline{z’}$ と $w’$ の偏角 $\theta$ は同じである。 $\overline{z’}$ も $L$ 全体を動く。

ここで $0$ から $\overline{z’}$ へ向けての半直線と $C’$ の交点 $w’ _ 0$ が $w’$ と一致することを示す。 $\lvert \overline{z’} \rvert ^ 2 = 1 + \tan ^ 2 \theta$, $\lvert w’ _ 0 \rvert = 2 \cos \theta$ であるから $\lvert \overline{z’} \rvert \lvert w’ _ 0 \rvert = 2$ であるとわかる。よって $\lvert w’ _ 0 \rvert = \rvert w’ \rvert$ である。また $w’$, $w’ _ 0$ は $\overline{z’}$ とそれぞれ偏角が一致することから $w’ _ 0 = w’$ である。

$\overline{z’}$ は $L$ 全体を動くので、 $w’$ の軌跡は $C’ \setminus \{ 0 \}$ である。よって $C = \{ z \in \mathbb{C} \mid \lvert z \rvert = 1 \} \setminus \{ -1 \}$ である。つまり $C$ は単位円から $-1$ を除いたものである。あとは自分で図示してくれ。

コメント

高校範囲で複素解析(複素幾何)の初歩のエッセンスをなんとか見出して解けないかと考えて、答えを書いてみた。うーん。あまりエッセンスになってないのかな。

まず「単位円に移る」だと条件として大きすぎる。さっきも言った通り相異なる $3$ つの点の行き先が決まれば一次分数変換が決定する。まず $f(0)$ が単位円上にあることを確定させることにより、 $3$ 点が決まるので、 $\hat{\mathbb{C}}$ 上の円が円に対応することより、この一次変換の像は決定する。

さて、問題は (ウ) の処理である。要するに $f(\infty) = -1$ であるのだが、像を決定した段階で、このことを高校範囲で捉えるには、「虚軸上には $f(z _ 0) = -1$ となる点 $z _ 0$ はない」としか表現しようがない。つまり事実上、背理法による方法しかないだろう。そこで $f$ の逆写像 $g$ を導入し、 $c \neq -1$ を仮定し、 $z _ 0$ を定義し、そいつが虚軸上にあることを示した。 $\hat{\mathbb{C}}$ で考えて良いならば、背理法ではなくなり、上の $z _ 0$ が $\mathbb{C}$ 上にあるのではなく $\hat{\mathbb{C}}$ 上にあるということが示されている。

後半について。ステレオグラフ射影では $z \mapsto 1/z$ は $\mathbb{C}$ に垂直に突き刺した軸の $180 ^ \circ$ 回転となっているのだが、それを援用するのは却ってめんどくさそうだ。私は中学生の頃、初等幾何にはまっていたので円の反転はその頃から慣れ親しんでいる。誰かの参考になるかもしれないから upload しておく。こんな時間まで起きてないで睡眠薬飲んで早く寝ろと言われそうだ。

追記しました

最後に

実は私は学部入試の数学についてインターネット上書きたくない。都会の中高一貫校の人には想像もつかないでしょうけども、世の中にはたくさんの底辺の教育が行われている。数学のことを正しく理解している先生から物を教わることができない中学・高校生はたくさんいるし、 Twitter ではそれがしばしば可視化される。底辺の教育をしている人たちはそれでカネを稼いでいるわけだから、底辺が間違っていますと言われると困るわけである。

学校も予備校も、先生の質はピンキリである。異なる職業に貴賎はないが、同じ職業には貴賎がある。大学入試問題の解説をする業界は、方や河合塾英語科の高沢先生のような、専門教育を受け研究と教育経験を積んだ最高レベルの先生から、底辺までいる。こういうエントリを上げると底辺の教育をする人の格好の的となり燃えることが予想される。私はそんな人の相手をする暇があったらアニメ見てゲームやってプログラム書いて遊んでいたい。